Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Trojúhelníková síť

V rovině je dáno $n\ge3$ bodů, z nichž žádné tři neleží v přímce. Dokažte, že pak existuje alespoň ${1\over6}n(n-1)$ trojúhelníků s vrcholy v daných bodech, které neobsahují žádný další z daných bodů.

Řešení

Řešení je snazší, než by se mohlo zdát. Vezměme libovolné dva z daných bodů a označme je $A$, $B$. Protože žádné tři z daných bodů neleží v přímce, každý ze zbývajících bodů tvoří s body $A$, $B$ trojúhelník. Každý z nich má kladnou výšku na stranu $AB$, a protože trojúhelníků je konečné množství, existuje mezi nimi alespoň jeden, jeho výška na stranu $AB$ je nejmenší. Takový trojúhelník už nemůže obsahovat žádný další z daných bodů. Různých dvojic daných bodů je $\binom n2$ a ke každé z nich jsme popsaným způsobem našli alespoň jeden trojúhelník, který neobsahuje žádný další z daných bodů. Každý z těchto trojúhelníků může být vybrán nejvýše jednou pro každou svou stranu, tj. nejvýše třikrát celkem. Různých trojúhelníků neobsahujících žádný další z daných bodů je tedy alespoň ${1\over3}\binom n2={1\over6}n(n-1)$.
Úloha byla zařazena do prvního kola 39. ročníku Matematické olympiády v kategorii A pro studenty 3. a 4. ročníků středních škol.