Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Trojúhelník, kružnice a čtverec
Do rovnostranného trojúhelníku je vepsána kružnice a do ní čtverec.
Jak velkou část obsahu trojúhelníku tvoří obsah čtverce?
Řešení
Velikosti obsahů vypočteme pomocí velikosti $r$ poloměru kružnice vepsané. Pro lepší představu a aby se nám lépe počítalo, pomůžeme si malým trikem: otočíme čtverec o $45^\circ$. Tím se jeho obsah nezmění.
Střed kružnice vepsané trojúhelníku je průsečíkem jeho os úhlů. Ty v rovnostranném trojúhelníku jsou totožné s těžnicemi a výškami. Těžnice v trojúhelníku se protínají v těžišti (které tedy v rovnostranném trojúhelníku splývá se středem kružnice vepsané), které dělí těžnici na dvě části v poměru $2:1$. Délka těžnice $DC$ je tedy $3r$. Těžnice $DC$ je současně výškou, která má velikost ${\sqrt3\over2}a$, kde $a$ je délka strany trojúhelníku (pokud si to nepamatujeme ze školy, snadno vypočteme pomocí Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku $DBC$). Odtud $a=2\sqrt3 r$ a obsah trojúhelníku $ABC$ je roven ${1\over2}a\cdot3r=3\sqrt3r^2$. Střed čtverce vepsaného kružnici splývá s jejím středem, takže délka úhlopříčky čtverce je $2r$. Délka strany čtverce je tedy $\sqrt2r$ (opět lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty) a obsah je roven $2r^2$. Poměr obsahů čtverce a trojúhelníku je tedy ${2\over3\sqrt3}={2\over9}\sqrt3$. Kdybychom chtěli tento poměr vyjádřit přibližně zlomkem, můžeme uvažovat takto: $({2\over9}\sqrt3)^2={1\over3^2}\cdot{4\over3}={1\over3^2}\cdot{48\over36}\approx{1\over3^2}\cdot{49\over36}={7^2\over(3\cdot6)^2}=({7\over18})^2$, takže obsah čtverce je přibližně $7\over18$ obsahu trojúhelníku.
