Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Trojúhelník a n-tá odmocnina
Je dán trojúhelník o stranách délek $a$, $b$, $c$. Pak pro každé přirozené číslo $n$ platí, že úsečky délek $\root n \of a$, $\root n \of b$, $\root n \of c$ také tvoří trojúhelník. Zkuste to dokázat. Platí obdobné tvrzení i pro mocniny délek stran?
Řešení
K tomu, aby tři úsečky tvořily trojúhelník, je nutné a stačí, aby součet délek kterýchkoli dvou stran byl větší než délka třetí strany. Platí tedy např. $a+b>c$. Pak $(\root n\of a + \root n\of b)^n>(\root n\of a)^n+(\root n\of b)^n=a+b>c=(\root n\of c)^n$. Stejným způsobem ověříme, že platí nerovnosti $(\root n\of b + \root c\of c)^n>a$, $(\root n\of c + \root a\of b)^n>b$. Pro mocniny tvrzení v3ak neplatí. Např. pro $a=b=c=1$ a $n=2$ dostaneme $1^2+1^2<2^2$.