Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Třetí mocnina končící na 2021
Která přirozená čísla mají tu vlastnost, že jejich třetí mocnina končí na 2021?
Řešení
Označíme hledané číslo $n$ a jeho poslední číslici $a$. Číslo $n-a$ má na konci nulu, takže je dělitelné deseti a číslo $n$ můžeme vyjádřit ve tvaru $n=10b+a$, kde $b$ je přirozené číslo. Použijeme vztah $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ a dostaneme $n^3=(10b)^3+3\cdot(10b)^2a+3\cdot10ba^2+a^3=10(100b^3+30b^2a+3ba^2)+a^3$. Má-li být poslední číslice $1$, musí být $a=1$, tj. $n^3=1000b^3+300b^2+30b+1=100(10b^3+3b^2)+10\cdot3b+1$. Předposlední číslici čísla $n^3$ tedy určuje číslo $3b$ a aby ta předposlední číslice byla $2$, musí mít číslo $b$ na posledním místě $4$. Hledané číslo tedy můžeme vyjádřit ve tvaru $n=100c+41$, takže $n^3=(100c)^3+3\cdot41\cdot(100c)^2+3\cdot41^2\cdot100c+41^3$. Číslici na místě stovek ovlivňují jen poslední dva členy $3\cdot41^2\cdot100c$ a $41^3=68921$. Aby tato číslice mohla být $0$, musí $3c$ končit na $7$. Můžeme tedy psát $n^3=1000d+741$, takže $n^3=(1000d)^3+3\cdot741\cdot(1000d^2)+3\cdot741^2\cdot1000d+741^3$. Protože $741^3=406869021$, musí číslo $d$ končit na $1$, aby číslice na místě tisíců v $n^3$ byla $2$. Hledané číslo tedy musí končit na $1741$ a každé takové číslo dané podmínce vyhovuje.