Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Úhly mezi tětivou, osou úhlu a výškou

V trojúhelníku $ABC$ s pravým úhlem při vrcholu $C$ svírají výška $CK$, osa $CL$ úhlu při vrcholu $C$ a tětiva $CM$ úhly $\alpha$ a $\beta$.

Umíte dokázat, že oba úhly mají stejnou velikost?

Řešení

V pravoúhlém trojúhelníku $ABC$ je délka tětivy $CM$ rovna polovině délky přepony $AC$. To lze snadno nahlédnout po doplnění trojúhelníku $ABC$ na obdélník $ABCD$, jehož úhlopříčky se navzájem půlí.

Trojúhelník $BCM$ je tedy rovnostranný a $\delta=\gamma$. Pravoúhlé trojúhelníky $ABC$ a $ACK$ mají společný úhel při vrcholu $A$, takže $\psi=\gamma=\delta$. Protože osa $CL$ půlí úhel při vrcholu $C$ trojúhelníku $ABC$, dostáváme odtud přímo $\alpha=\beta$.