Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Test z matematiky
V médiích se často setkáváme se zprávami, v nichž jsou kvantitativní údaje podávány rozdílnými způsoby, takže může být na první pohled obtížné je porovnávat. Možná je to kvůli snaze o stylovou různorodost textu, možná prostě z neporozumění. Příkladem může být následující zpráva: Skupina studentů psala písemný test z matematiky. Test se skládal z deseti úloh, za každou z nich mohl student dostat určitý počet bodů, které se nakonec sečetly. Pro úspěch ve zkoušce bylo třeba dosáhnout alespoň určitého daného počtu bodů. Po vyhodnocení testu se ukázalo, že průměrný počet bodů všech studentů byl 53, průměrný počet bodu dosažených studenty, kteří ve zkoušce uspěli, byl 65, zatímco průměrný počet bodů těch studentů, kteří neuspěli, byl 35. Ta základní informace, kolik procent studentů v testu uspělo, zůstala utajena. Dokážete ji z daných údajů odvodit?
Řešení
Mohlo by se zdát, že k výpočtu potřebujeme znát minimální počet bodů nutných k úspěchu v testu. Ve skutečnosti to však nepotřebujeme. Označme $u$ počet úspěšných a $n$ neúspěšných studentů. Úspěšní studenti dohromady získali $65u$ bodů, neúspěšní studenti dohromady získali $35n$ bodů a všichni dohromady celkem získali $53(u+n)$ bodů. Máme tedy rovnost $53(u+n)=65u+35n$, z níž plyne $n={2\over3}u$. Počet všech studentů je tedy roven $u+n=u+{2\over3}u={5\over3}u$ a z toho vypočteme poměr úspěšných studentů k celkovému počtu všech studentů je roven ${u\over u+n}={3\over5}=0{,}6$. V testu uspělo 60 % studentů.