Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Je dán součet a součin dvou čísel
Součet dvou čísel je 2, jejich součin je 3. Určete součet převrácených hodnot těchto dvou čísel.
Řešení
Kdo pravidelněji sleduje tuto rubriku, pravděpodobně očekává zase nějakou kulišárnu. Skutečně, přímočarý "otrocký" výpočet je trochu pracný a vyžaduje znalost počítání s komplexními čísly. Hledáme čísla $x$, $y$ taková, že $x+y=2$, $xy=3$. Dosazením za $y$ z druhé rovnice do první dostaneme kvadratickou rovnici $x^2-2x+3=0$, která má dva komplexní kořeny, $x_{1,2}=1\pm i\sqrt2$. Tomu odpovídají dvě čísla $y_{1,2}=2-x_{1,2}=1\mp i\sqrt2$. Platí ${1\over x_1}={1\over 1+i\sqrt2}={1-i\sqrt2\over3}$ a ${1\over y_1}={1\over 1-i\sqrt2}={1+i\sqrt2\over3}$, a tedy ${1\over x_1}+{1\over y_1}={2\over3}$. Dvojice $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ se liší pouze pořadím.
Při hledání řešení bývá užitečné přistupovat k problému z různých stran. Podíváme-li se na to "od konce" a upravíme výsledný tvar ${1\over x}+{1\over y}={x+y\over xy}$, ihned vidíme, že stačí dosadit podle zadání $2$ za $x+y$ a $3$ za $xy$, a dostaneme výsledek ${1\over x}+{1\over y}={2\over3}$.