Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Zajímavá vlastnost složených čísel
Přirozená čísla, která nejsou prvočísly, se nazývají složená. Složené číslo lze tedy alespoň dvěma různými způsoby rozložit na součin dvou přirozených čísel, např. $6=1\cdot6=2\cdot3$. Sečteme-li druhé mocniny čtyř čísel v obou rozkladech, dostaneme $1^2+6^2+2^2+3^2=50$. Výsledné číslo $50$ je opět složené. Dokažte, že to platí vždy, tj. je-li složené číslo $n$ vyjádřeno jako $n=ab=cd$, kde $a\ne c$ a $a\ne d$, pak číslo $a^2+b^2+c^2+d^2$ je vždy složené, nikdy to není prvočíslo.
Řešení
Jestliže $ab=cd$, pak číslo $c$ je dělitelem součinu $ab$. To znamená, že buď $c$ je dělitelem $a$, nebo $c$ je dělitelem $b$, nebo $c$ je součinem dvou čísel, z nichž jedno je dělitelem $a$ a druhé je dělitelem $b$. Platí tedy $c=mn$, $a=mp$, $b=nq$, kde $m$, $n$, $p$, $n$ jsou přirozená čísla. Z toho vypočteme $d={ab\over c}={mpnq\over mn}=pq$ a po dosazení dostaneme $a^2+b^2+c^2+d^2=m^2p^2+n^2q^2+m^2n^2+p^2q^2=(m^2+n^2)(p^2+q^2)$, což je složené číslo, protože každý ze součinitelů $m^2+n^2$ a $p^2+q^2$ je větší než 1.