Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Schůzka
Petr s Lucií si domluvili schůzku. Vědí, že oba jsou nedochvilní a současně netrpěliví, a proto se dohodli, že se sejdou v rozmezí od 18:00 do 19:00 hodin, ale nikdo nebude na druhého čekat déle než 10 minut. Jak velká je pravděpodobnost, že se opravdu setkají, pokud se oba dostaví na schůzku v daném rozmezí 18:00–19:00 hodin?
Řešení
Místo formálního výpočtu pravděpodobností ukážeme řešení pomocí geometrické úvahy.
Vodorovná osa odměřuje Petrova pobytu na místě setkání, svislá osa dobu pobytu Lucie. Souřadnice bodů ve čtverci určují možné časy jejich příchodů, všechny body ve čtverci tedy představují všechny možné kombinace jejich příchodů. Pokud jeden na druhého nebude čekat déle než 10 minut, pak se mohou setkat pouze v tom případě, že body označující časy jejich příchodů budou v červeně vyznačeném obrazci. Např. bod $A$ označuje situaci, kdy by Petr přišel v 18:27 a Lucie v 18:25. Pokud by Lucie přišla před 18:17 nebo po 18:37, nepotkali by se. Kdyby se Petr dostavil před 18:15 nebo po 18:35, Lucie by na místě setkání nebyla. Bod $B$ označuje situaci, kdy by Lucie přišla v 18:27 a Petr v 18:45 – to už ovšem mezitím Lucie odešla.
Body v červeně vyznačeném obrazci představují všechny příznivé stavy, tj. situace, kdy se Petr s Lucií mohou setkat. Intuitivně (je za tím trochu víc matematiky) můžeme říci, že množství stavů lze měřit velikostí obsahu příslušného obrazce, takže pravděpodobnost setkání Petra s Lucií je vyjádřena podílem obsahu červeně vyznačeného obrazce a obsahu celého čtverce. Snadno vypočítáme, že tento poměr je $11\over36$.