Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Japonský chrám

Tohle je další z historické sbírky japonských úloh san gaku. Lichoběžník $ABCD$ je opsán dvěma dotýkajícím se kružnicím $k_1$, $k_2$. Jeho základny mají délky $|AB|=2a$, $|CD|=2b$.

Určete velikosti poloměrů $r_1$, $r_2$ obou kružnic.

Řešení

Označme $c=|HG|$.

Protože $|BJ|=a$, $|JG|=c$ a $|EB|=a-c$, podle Pythagorovy věty pro trojúhelník $EBG$ platí $(a-c)^2+(2r_1)^2=(a+c)^2$. Odtud po úpravě dostaneme $r_1=\sqrt{ac}$.

Obdobně pro trojúhelník $FGC$ platí $(c-b)^2+(2r_2)^2=(b+c)^2$, a tedy $r_2=\sqrt{bc}$. Z toho plyne ${r_1\over r_2}=\sqrt{a\over b}$. Trojúhelníky $EBG$ a $FGC$ jsou podobné, takže platí ${2r_1\over a+c}={2r_2\over b+c}$tj. ${r_1\over r_2}={b+c\over a+c}$. Dostáváme ${a\over b}={(b+c)^2\over (a+c)^2}$ a odtud po úpravě $c=\sqrt{ab}$, takže $r_1=\root 4 \of {a^3b}$ a $r_2=\root 4 \of {b^3a}$.