Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Čtverec a trojúhelník v kruhu

Ke čtverci o straně délky $a$ přiléhá rovnostranný trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku. Určete velikost poloměru kružnice $k$ opsané tomuto obrazci.

Řešení

Poloměr $r$ kružnice $k$ můžeme určit výpočtem s použitím věty o tětivách, kterou ve svých Základech uvádí již Eukleides.
Podle ní pro úseky protínajících se tětiv $AB$, $EG$ platí ${a\over2}\cdot{a\over2}=x\cdot(a+h)$, kde $h={\sqrt3\over2}a$ je výška rovnostranného trojúhelníku. Odtud dostaneme $x={a\over 2(2+\sqrt3)}$, a tedy $r={1\over2}(h+a+x)={a\over2}({\sqrt3\over2}+1+{1\over 2(2+\sqrt3)})=a$.

Úlohu lze však řešit jednodušeji geometrickou úvahou: Uvnitř čtverce sestrojíme rovnostranný trojúhelník $ABS$. Protože úsečku $AS$ a $DE$ jsou rovnoběžné a mají stejnou délku, čtyřúhelník $ASED$ je rovnoběžník, takže i úsečky $SE$ a $AD$ mají stejnou délku. Bod $S$ je tedy středem kružnice $k$.