Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Hledá se prvočíslo
Pro které prvočíslo $p$ je $2p+1$ třetí mocninou nějakého přirozeného čísla?
Řešení
Hledáme provčíslo $p$ takové, že $2p+1=n^3$ pro nějaké přirozené číslo $n$. Číslo $2p+1$ je liché, je tedy liché i $n$. Navíc $n>1$, takže $n=2k+1$ pro nějaké přirozené číslo $k>1$. Můžeme tedy psát $2p=n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)=2k(4k^2+4k+1+2k+1+1)$, tj. $p=k(4k^2+6k+3)$. Protože každé prvočíslo je dělitelné jen číslem $1$ a sebou samým, musí být $k=1$, a tedy $p=4+6+3=13$. Číslo $13$ je jediným prvočíslem splňujícím podmínku úlohy, $2\cdot13+1=27=3^3$.
Úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii Z pro žáky základních škol.