Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

První a poslední číslice

Určete prvních devět a posledních devět číslic podílu $3\underbrace{000000\dots00000}_{{\rm 99\ nul}}7:37$ a zbytek dělení.

Řešení

Odpověď na otázku lze samozřejmě najít tak, že dělení provedeme od začátku do konce. To vyžaduje hodně velkou trpělivost. Lepší je trochu se zamyslet. Když začneme provádět dělení, po dvou krocích zjistíme, že vzniká cyklus: $$\eqalign{&300000000\dots0007:37=810\cr &\hphantom{00}40\cr &\hphantom{000}300\cr}$$ Další číslice podílu tedy bude opět 8, pak 1, 0 atd., přičemž číslice 3 se ve zbytku pro dělení objeví vždy pod 3., 6., atd. nulou, naposledy pod 99. nulou. Za tu poslední připisujeme číslici 7, takže poslední číslice podílu je 1 a zbytek je 0: $$\eqalign{&300000000\dots0007:37=810810810\dots810810811\cr &\hphantom{00}40\cr &\hphantom{000}300\cr &\hphantom{00000}40\cr &\hphantom{000000}300\cr &\hphantom{0000000}\dots\cr &\hphantom{0000000000000}40\cr &\hphantom{00000000000000}37\cr &\hphantom{000000000000000}0\cr}$$ Prvních devět číslic podílu je 810810810, posledních děvět číslic je 810810811.