Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Posloupnost čísel se zajímavou vlastností

Je dáno přirozené číslo $n$ a hledá se $2n+1$ po sobě jdoucích přirozených čísel s touto vlastností: součet druhých mocnin prvních $n+1$ čísel se rovná součtu druhých mocnin posledních $n$ čísel. Vypadá to složité? Ve skutečnosti k tomu nepotřebujete znát o moc víc než řešení kvadratické rovnice. Kdyby se někomu úloha s obecným $n$ zdála příliš složitá, může to zkusit pro konkrétní $n$, např. pro $n=10$, ale lepší je využít krásu a sílu matematiky a provést to najednou pro každé přirozené číslo $n$.
Úloha byla zařazena do školní části 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii A pro studenty středních škol.

Řešení

Označme $x$ první z posloupnosti $2n+1$ hledaných čísel. Součet druhých mocnin prvních $n+1$ z nich pak je $$\eqalign{&x^2+(x+1)^2+ \dots +(x+n)^2\cr &=x^2+(x^2+2x+1^2)+\dots+(x^2+2xn+n^2)\cr &=(n+1)x^2+2x(1+2+\dots+n)+1^2+2^2+\dots+n^2.\cr}$$ Obdobně součet druhých mocnin posledních $n$ hledaných čísel je $$\eqalign{&(x+n+1)^2+(x+n+2)^2+ \dots +(x+n+n)^2\cr &=(x+n)^2+[2(x+n)+1^2]+[(x+n)^2+2(x+n)2+2^2]+\dots+[(x+n)^2+2(x+n)n+n^2]\cr &=n(x+n)^2+2(x+n)(1+2+\dots+n)+1^2+2^2+\dots+n^2.\cr}$$ Použijeme známý vztah $1+2+\dots+n={n(n+1)\over2}$ (ten lze snadno dokázat matematickou indukcí – viz např. brožurku Rudolfa Výborného Matematická indukce z edice Škola mladých matematiků, nebo odvodit jednoduchou úvahou – viz komentář k řešení úlohy Jak sečíst 999 zlomků?), a po krátké úpravě dostáváme kvadratickou rovnici $$x^2-2n^2x-2n^3-n^2=0.$$ Její kořeny jsou $x_{1,2}=n^2\pm\sqrt{n^4+2n^3+n^2}=n^2\pm n(n+1)$. Pouze kořen $x_1=n^2+n(n+1)=2n^2+n$ je kladný. Hledaná posloupnost $2n+1$ po sobě jdoucích přirozených čísel je tedy $2n^2+n$, $2n^2+n+1$, $\dots$, $2n^2+3n$.