Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Která číslice je na konci?
Existují "kouzelníci", kteří se živí tím, že na estrádách předvádějí bleskurychlé výpočty s velkými čísly. To zpravidla vyžaduje schopnost hlubokého soustředění, vynikající paměť, tvrdý trénink a znalost užitečných triků. Tato úloha je mnohem snazší, i když tak na první pohled nevypadá. Dokážete rychle určit poslední číslici součtu šestých mocnin čísel 111, 222, 333, 444, 555 a 666?
Řešení
Jako obvykle, lze na řešení jít hrubou silou, vypočítat šesté mocniny všech šesti daných čísel a sečíst je. Takový postup však matematici nemají rádi, dávají přednost hledání šikovných cest. Stačí si uvědomit, že k tomu, abychom zjistili poslední číslici součinu nebo součtu dvou libovolně velkých přirozených čísel, potřebujeme znát jen součin nebo součet jejich posledních číslic. Každá mocnina čísla 111 vždy končí číslicí 1. Mocniny čísla končícího na 2 mají na posledním místě postupně 2, 4, 8, 6, 2, ... ($2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, ...). Podobně poslední číslice mocnin čísla končícího na 3 tvoří posloupnost 3, 9, 7, 1, 3, ..., poslední číslice mocnin čísla končícího na 4 tvoří posloupnost 4, 6, 4, ..., poslední číslice mocnin čísla končícího na 5 je vždy 5 a poslední číslice mocnin čísla končícího na 6 je vždy 6. Na posledních místech šestých mocnin čísel 111, 222, 333, 444, 555 a 666 jsou tedy číslice 1, 4, 9, 6, 5 a 6, a protože $1+4+9+6+5+6=31$, na posledním místě čísla $111^6+222^6+333^6+444^6+555^6+666^6$ je jednička. Kdo by si to chtěl ověřit, může si to přepočítat: $111^6+222^6+333^6+444^6+555^6+666^6=125\thinspace637\thinspace615\thinspace883\thinspace206\thinspace541$.