Úlohy pro zábavu i pro poučení
Ostrov pohanů
Velký mořeplavec Tomáš Kuchař kdysi objevil ostrov, na kterém v 27 vesnicích na pobřeží žijí pohané. Vesnice objel podle pobřeží jednu za druhou a označil je na mapě postupně 27 písmeny abecedy A, B, ..., Z (písmena s háčky mohl vynechat). Řád bosonohých Ferdinandů zahrnoval 27 bratří, jméno každého z nichž začínalo právě jedním z 27 písmen abecedy. Považovali to za Boží znamení, že mají právě oni obrátit pohany v těch 27 vesnicích na pravou víru. Vylosovali jednoho z bratrů, poslali ho na ostrov, a protože se domnívali, že systematický postup nejlépe povede ke kýženému výsledku, vyslaný misionář se měl vylodit ve vesnici, jejíž jméno začíná stejným písmenem jako jeho jméno, a přivést zdejší pohany k víře. Jakmile to udělá, měl se přesunout do následující vesnice ve směru proti pohybu hodinových ručiček a obrátit její obyvatele na víru. Atd. Když o misionáři po delší dobu neměli zprávu, vylosovali dalšího a poslali ho se stejným úkolem na ostrov. Netušili, že problém byl v tom, že pohanští obyvatelé vesnice se docela ochotně nechali obrátit na víru, ale jakmile do takové již obrácené vesnice přišel misionář (ten, který tam už byl nebo jiný), usoudili, že toho je příliš, misionáře snědli a vrátili se k pohanství. Protože v řádu neměli od vyslaných misionářů žádné zprávy, mohlo se stát, že jich na ostrově současně působilo několik najednou, aniž o sobě věděli. Kolik vesnic na ostrově bude obráceno na víru, až ostrov navštíví poslední z 27 bratrů a dokončí svou misi?
Řešení
Zkusit projít celým labyrintem možných kombinací je téměž nadlidský úkol. Zkusme raději uvažovat. Každá z vesnic, která byla obrácena na víru, se nutně stává pastí na misionáře, protože jakmile ji některý navštíví, bude snězen a vesnice se vrátí k pohanství. Protože každou vesnici někdy navštíví misionář, jehož jméno začíná stejným písmenem jako jméno vesnice, každá vesnice je buď převedena na víru a stane se pastí pro dalšího misionáře, nebo se vrátí k pohanské víře. Každý misionář buď rovnou přistane do vesnice již dříve obrácené, kde ho hned snědí, nebo postupuje podle pobřeží a za sebou nechává sled vesnic obrácených na víru, až nakonec nutně narazí na vesnici, která již na víru byla obrácena; tam ho snědí a vrátí se k pohanství. Poté, co ostrov navštívil 27. misionář a splnil svůj úkol (a byl nutně sněden, jak jsme viděli), dvacetsedmkrát došlo k obrácení nějaké vesnice na víru a zpět. Když dokážeme, že žádná vesnice nebyla navštívena misionáři více než dvakrát, bude jasné, že každý misionář zahynul v právě jedné vesnici, a tedy každá vesnice skončila jako pohanská. Zkusme tedy předpokládat, že některá vesnice (nechť její jméno začíná třeba na A; v dalším budeme vesnice i misionáře označovat jen počátečním písmenem) byla navštívena misionáři potřetí. To znamená, že do ní aspoň dvakrát přišel misionář z vesnice Z (jednou se tam vylodil misionář A). Alespoň dva misionáři tedy do vesnice Z vstoupili a opět z ni ve zdraví odešli. Druhý z nich tedy musel být přinejmenším třetí misionář, který do Z přišel, protože každý druhý misionář přicházející do některé vesnice je sněden. Aby však vesnici Z mohli navštívit alespoň tři misionáři, podle stejné úvahy museli před tím vesnici Y navštívit aspoň tři misionáři atd. a postupně dojdeme k tomu, že vesnici A navštivili aspoň tři misionáři. Aby tedy vesnici A mohl navštívit třetí misionář, museli vesnici A už před tím navštívit alespoň tři misionáři. To je samozřejmě spor. To znamená, že každou vesnici navštívili misionáři právě dvakrát, všichni byli snědeni a všechny vesnice se vrátily k pohanství svých předků.