Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Obarvený pětiúhelník

V konvexním pětiúhelníku obarvíme každou stranu a každou úhlopříčku buď červeně nebo modře tak, že aby žádný z trojúhelníků tvořených těmito úsečkami nebyl jednobarvený, např. takto:

Vidíme, že z každého vrcholu pětiúhelníku vycházejí právě dvě úsečky stejné barvy. Dokažte, že to není náhoda, že tomu tak bude za daných podmínek vždy.
Tato úloha byla zařazena do přípravného kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Označme vrcholy pětiúhelníku $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ a předpokládejme, že z některého vrcholu, označme ho $A$, vycházejí aspoň tři červené úsečky. Jejich koncové body označme $B$, $C$, $D$. Není-li žádný z trojúhelníků $ABC$, $ABD$, $ACD$ jednobarevný, musejí být úsečky $BC$, $BD$ a $CD$ modré. To by však znamenalo, že trojúhelník $BCD$ je celý modrý. Z každého vrcholu tedy mohou vycházet nejvýše dvě červené úsečky. Stejnou úvahou zjistíme, že z každého vrcholu mohou vycházet nejvýše dvě modré úsečky, a protože z každého vrcholu vycházejí právě čtyři úsečky, jsou dvě z nich červené a dvě modré.