Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Mocniny tří
S přirozenými čísly lze provádět různá "kouzla". Zkuste dokázat, že pro každé přirozené číslo $n$ existují taková dvě přirozená čísla $r$, $s$, že číslo $3^r-3^s$ je dělitelné číslem $n$.
Tato úloha byla zařazena do přípravného kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii B pro studenty středních škol.
Řešení
Řešení je založeno na užití tzv. Dirichletova přihrádkového principu (někdy se mu také říká holubníkový princip), který říká, že když umístíme $m$ předmětů do $n$ přihrádek, kde $m > n$, pak bude existovat alespoň jedna přihrádka, ve které budou alespoň dva předměty. Dělíme-li nějaké přirozené číslo $k$ číslem $n$, pak zbytek bude některé z $n$ čísel $0$, $1$, $2$, $3$, ..., $n-1$. Přirozených čísel $3^1$, $3^2$, $3^3$, ..., $3^n$, $3^{n+1}$ je $n+1$, takže aspoň dvě z nich musejí mít stejný zbytek $z$ při dělení číslem $n$. Nechť jsou to čísla $3^r$, $3^s$. Platí tedy $3^r=pn+z$, $3^s=qn+z$, kde $p$ a $q$ jsou celá nezáporná čísla. Odtud dostaneme $3^r-3^s=(p-q)n$, což znamená, že $3^r-3^s$ je dělitelné číslem $n$.