Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Kružnice vepsaná do mnohoúhelníku

Je dána kružnice a jí opsaný konvexní mnohoúhelník. Uvnitř mnohoúhelníku je zvolen bod $X$. Úkolem je určit velikost poloměru kružnice pomocí vzdáleností bodu $X$ od jednotlivých stran mnohoúhelníku. Na obrázku je situace znázorněna pro případ sedmiúhelníku.

Řešení

Označme délky stran mnohoúhelníku $a_i$, $i=1,2,\dots,n$, vzdálenosti bodu $X$ od příslušné strany $d_i$ a poloměr kružnice $r$. Obsah $P$ mnohoúhelníku lze vyjádřit jako součet obsahů trojúhelníků, z nichž každý je tvořen stranou mnohoúhelníku a dvěma spojnicemi vrcholů s bodem $X$. Velikost výšky trojúhelníku je rovna vzdálenosti $d_i$ bodu $X$ od příslušné strany $a_i$. Platí tedy $$P=\sum_{i=1}^n {1\over2}a_id_i.$$

Obsah mnohoúhelníku lze vyjádřit i jiným způsobem: jako součet obsahů trojúhelníků, z nichž každý je tvořen stranou mnohoúhelníku a dvěma spojnicemi vrcholů se středem kružnice $S$. Výšky všech těchto trojúhelníků mají velkikost $r$ (na obrázku znázorněno červeně). Platí tedy $$P=\sum_{i=1}^n {1\over2}a_i r.$$ Z obou vztahů pro obsah $P$ ihned dotáváme $$r={\sum_{i=1}^n a_id_i \over \sum_{i=1}^n a_i}.$$ Úloha byla zařazena do domácího kola 35. ročníku Matematické olympiády konané ve školním roce 1985/86.