Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Kuličky
Obchodník si objednal kuličky na hraní: 19 sad o stejném počtu hliněnek a 3 sady o stejném počtu duhovek. Krabici se zásilkou bohužel otevřel až druhý den a zjistil, že dodavatel všechny kuličky, celkem 224, jednoduše nasypal do krabice. Kolik kuliček má být v každé sadě hliněnek a v každé sadě duhovek?
Řešení
Označme $h$ počet hliněnek v jedné sadě a $d$ počet duhovek v jedné sadě. Musí platit $19h+3d=224$, tj. $d=74{2\over3}-6{1\over3}h=74-6h+{2-h\over3}$. Protože $d$ i $74-6h$ jsou celá čísla, musí být i $2-h\over3$ celé číslo, tj. $2-h$ musí být násobek $3$. Nejmenší $h$, pro které to platí, je $h=2$. To však nevyhovuje, protože pak vychází $d={186\over3}$, což není celé číslo. Je tedy $h>2$, a tedy ${2-h\over3}=-k$, kde $k>0$ je přirozené číslo, tj. $h=2+3k$. Protože $d=74-6h+{2-h\over3}>0$, platí $74>6(2+3k)-k=12+17k$, takže nutně $k\le3$. Zároveň platí $d=74-6(2+3k)-k=62-19k$ a víme, že $h>d$, tj. $2+3k>62-19k$. Odtud plyne $k>2$. Máme tedy $2<{k}\le3$ a $k$ je celé číslo, takže $k=3$. Dostáváme tak jediné řešení $h=2+3k=11$ a $d=62-19\cdot3=5$.