Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Krychle a koule

Uvnitř krychle o hraně délky $a$ určete všechny středy kulových ploch, které se dotýkají jejích tří sousedních stěn se společným vrcholem a tří sousedních hran, které v těchto stěnách neleží.

Řešení

Označme vrcholy krychle $A, B, C, D, E, F, G, H$. Střed kulové plochy, která se dotýká stěn $ABCD$, $ADHE$, leží v rovině procházející body $D, A, F, G$. Obdobně střed kulové plochy, která se dotýká stěn $ABCD$, $ABFE$, leží v rovině procházející body $A, B, G, H$ a střed kulové plochy, která se dotýká stěn $ABFE$, $ADHE$, leží v rovině procházející body $E, A, C, G$. Všechny tři roviny se protínají v přímce procházející body $A, G$. Střed $S$ kulové plochy, která se dotýká stěn $ABCD$, $ADHE$, $ABFE$ se společným vrcholem $A$, tedy musí ležet na tělesové úhlopříčce $AG$. Body na této úhlopříčce mají zároveň stejnou vzdálenost od hran $GC$, $GH$, $GF$. Hledáme tedy na úhlopříčce bod, jehož vzdálenost od stěny $ABCD$ je rovna vzdálenosti od hrany $CG$. Označme $P$ patu kolmice z bodu $S$ ke stěně $ABCD$ a $Q$ patu kolmice z bodu $S$ ke hraně $CG$.

Úsečky $SP$, $SQ$ tedy mají délku rovnou poloměru $r$ hledané kulové plochy. Stěnová úhlopříčka $AC$ má délku $a\sqrt2$. Z podobnosti trojúhelníků $SQG$ a $ACG$ plyne ${r\over a-r}={a\sqrt2\over a}=\sqrt2$. Z podobnosti trojúhelníků $APS$, $SQG$ pak plyne ${|AS|\over|SG|}={r\over a-r}=\sqrt2$. Bod $S$ tedy dělí úhlopříčku $AG$ v poměru $\sqrt2:1$. Na každé tělesové úhlopříčce existují dva takové body, celkem tedy máme 8 středů kulových ploch daných vlastností.
Úloha byla zařazena do domácího kola 35. ročníku Matematické olympiády konané ve školním roce 1985/86.