Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Kružnice ve čtvercové síti

Karel zahání dlouhou chvíli rýsováním kružnic na čtverečkovaném papíru, které mají střed ve vrcholu některého čtverce a poloměr rovný celočíselnému násobku velikosti strany čtverce. Po narýsování několika kružnic se mu zdá, že když bude poloměr dost velký, může kružnice procházet středem některého ze čtverců sítě.

Má pravdu?

Řešení

Karel by měl pravdu, pokud by vzdálenost některého vrcholu čtvercové sítě od středu některého čtverce této sítě byla rovna celočíselnému násobku délky strany čtverce. Pro zjednodušení předpokládejme, že strana čtverce sítě má délku $1$. Vzdálenost vrcholu čtvercové sítě od středu některého čtverce sítě je rovna velikosti přepony pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky $p+{1\over2}$ a $q+{1\over2}$, kde $p$, $q$ jsou nějaká přirozená čísla (na obrázku $p=3$, $q=2$).

Podle Pythagorovy věty je druhá mocnina délky odvěsny rovna $(p+{1\over2})^2+(q+{1\over2})^2=p^2+p+q^2+q+{1\over2}$, což ovšem není celé číslo. Ani délka odvěsny $\sqrt{(p+{1\over2})^2+(q+{1\over2})^2}$ tedy nemůže být celé číslo. Karlova domněnka neplatí.