Úlohy pro zábavu i pro poučení
Jak spravedlivě rozdělit dort?
Anička, Bětka a Cecilka dostaly dort a chtějí si ho spravedlivě rozdělit. Kdyby jedna z nich dort rozkrájela a každá by si jednoduše vzala jeden kus, mohla by si některá z nich myslet, že všechny kusy nebyly stejně velké a na ni zbyl ten nejmenší. Jak mají postupovat, aby si žádná z nich nemohla právem stěžovat, že dostala méně než třetinu dortu?
Řešení
Kdyby se o dort dělila jen Anička s Bětkou, řešení by bylo zcela snadné. Například Anička by dostala za úkol rozkrojit dort na dva kusy stejné velikosti. Bětka by si pak mohla vybrat jeden ze dvou kusů dortu a Anička by dostala druhou část. Bětka by si nemohla stěžovat, protože si mohla vybrat kus, který považovala za větší, a získat tak alespoň polovinu dortu. Ale ani Anička by neměla důvod ke stížnosti, protože měla možnost rozkrojit dort přesně na polovinu tak, aby na ni nezbylo méně než jeho polovina.
V našem případě se musí např. Anička nejprve pokusit rozkrojit dort na dva stejné kusy. Bětka si vybere jeden ze dvou kusů a pokusí se ho rozkrájet na tři kousky stejné velikosti. Podobně Anička rozkrojí na tři části druhou "polovinu" dortu. Cecilka si vybere jeden ze tří kousků dortu od Aničky a jeden ze tří kousků od Bětky. Každá z dívek má tedy dva kusy a dort je rozdělen.
Cecilka nemá na co si stěžovat, protože měla možnost vybrat si největší kousek od Aničky a největší kousek od Bětky. Mohla tedy získat alespoň třetinu z každé části, a tedy dohromady nejméně třetinu celého dortu.
Bětka si mohla na začátku vybrat ten ze dvou kusů, který považovala za větší. Potom měla příležitost rozkrájet tento kus na tři kousky stejné velikosti. Každý z těchto tří kousků by pak odpovídal alespoň jedné šestině celého dortu. Bez ohledu na to, který kousek dortu si vybrala Cecilka, Bětce by zbyla alespoň třetinu dortu.
Dokonce ani Anička nemá dobrý důvod ke stížnosti, protože zpočátku mohla rozkrájet celý dort na přesné poloviny, a pak polovinu dortu na tři kousky přesně stejné velikosti. Měla tedy šanci krájet tak, aby každý z těchto tří kousků tvořil přesně jednu šestinu celého dortu. Poté, co si Cecilka vybrala jeden kousek, zbyla by Aničce přesně třetina dortu.
Popsaný postup tedy dává každé z dívek možnost zajistit, aby dostala alespoň třetinu dortu.
Existuje ještě jiné řešení. Anička se pokusí rozkrájet dort na tři stejné kousky. Pokud se Bětka domnívá, že jeden z těchto tří kousků je větší než ostatní dva, odřízne z něj část a přidá ji k druhému největšímu kusu tak, aby tyto dva kusy měly stejnou velikost. Cecilka si pak může vybrat jeden ze tří takto upravených kusů dortu. Pokud si nevybere kus, ze kterého Bětka kousek odkrojila, dostane ho Bětka. V ostatních případech si Bětka může vybrat jeden ze dvou zbývajících kusů. Anička dostane poslední kousek.
Anička nemá dobrý důvod ke stížnosti, protože na ni zbyl kus, ze kterého Bětka neukrajovala, takže podle Aniččiny představy tvoří třetinu celého dortu. Bětka měla šanci buď získat kousek dortu, ze kterého něco ukrojila, nebo ten, ke kterému něco přidala. Podle jejího názoru to byly nejen části stejné velikosti, ale byly to také dva největší kousky. A protože si Cecilka mohla vybrat kterýkoli ze tří kusů, ani ona neměla důvod ke stížnosti.