Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Další kouzla s čísly

Zvolte si libovolné trojciferné číslo a zapište ho dvakrát za sebou. Ověřte, že vzniklé šestimístné číslo je dělitelné jedenácti. Pak zkuste totéž s dvojciferným, čtyřciferným, pěticiferným, šesticiferným číslem. Která z výsledných čtyřciferných, osmiciferných, deseticiferných, dvanácticiferných čísel budou dělitelná jedenácti? Je v tom náhoda nebo nějaká zákonitost?

Řešení

Když trojciferné číslo $N$ napíšeme dvakrát za sebou, vzniklé šesticiferné číslo bude mít tvar $N+N\cdot1000=N\cdot1001=N\cdot11\cdot91$ a bude tedy dělitelné jedenácti. Podobně v případě pěticiferného čísla $N$ dostaneme $N+N\cdot100000=N\cdot100001=N\cdot11\cdot9091$. U dvojciferných nebo čtyřciferných čísel to bude jinak: $N+N\cdot100=N\cdot101$, $N+N\cdot10000=N\cdot10001=N\cdot73\cdot137$, a protože $101$, $73$ a $137$ jsou prvočísla, výsledné čtyřciferné nebo osmiciferné číslo je dělitelné jedenácti jen tehdy, když je jedenácti dělitelné již samo původní číslo $N$. Nabízí se hypotéza, že výsledek bude vždy dělitelný jedenácti, když zvolené číslo $N$ bude mít lichý počet číslic.

Ověřit hypotézu není složité. Stačí dokázat, že všechna čísla, která mají na začátku a na konci jedničku a mezi nimi sudý počet nul, jsou dělitelná jedenácti. Taková čísla mají tvar $a_k=10^{2k+1}+1$, kde $k$ je libovolné přirozené číslo. Důkaz provedeme matematickou indukcí (těm, kdo by se o matematické indukci chtěli dozvědět víc, doporučujeme brožurku Rudolfa Výborného Matematická indukce). Již víme, že číslo $a_1=1001=11\cdot91$ je dělitelné jedenácti. Víme-li, že pro nějaké $k\ge1$ je číslo $a_k=10^{2k+1}+1$ dělitelné jedenácti, pak pro $k+1$ máme $a_{k+1}=10^{2(k+1)+1}+1=10^{2k+3}+1=10^{2k+3}+1-a_k+a_k=10^{2k+3}+1-(10^{2k+1}+1)+a_k=10^{2k+1}(100-1)+a_k=10^{2k+1}\cdot99+a_k$, a protože obě čísla $99$, $a_k$ jsou dělitelná jedenácti, je jedenácti dělitelné i číslo $a_{k+1}$.

Je-li počet nul mezi jedničkami lichý, pak z rozdílu $10^{2k+2}+1-a_k=10^{2k+1}\cdot9$, který není dělitelný jedenácti, hned vidíme, že ani číslo $10^{2k+2}+1$ s lichým počtem nul nemůže být dělitelné jedenácti.