Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Koule v krychli

Krychli o hraně délky $a$ je vepsána koule o poloměru ${a\over2}$ se středem ve středu krychle. Do prostoru mezi koulí a stěnami krychle je vložena menší koule, která se dotýká větší koule a tří stěn krychle.

Řešení

Poloměr větší krychle je $R={a/2}$, poloměr menší krychle označíme $r$. Vzdálenost středu koule vepsané krychli od jejího vrcholu je shodná s délkou úhlopříčky krychle s hrany poloviční délky. V případě větší koule to je $\sqrt{3}R$, v případě menší koule to je $\sqrt{3}r$.

Ze symetrie krychle a obou koulí vyplývá, že střed menší koule leží na spojnici středu větší koule a vrcholu krychle, v jehož blízkosti je menší koule. Situaci tedy můžeme jednoduše znázornit v řezu krychlí a koulemi rovinou procházející protějšími hranami krychle:

Protože se obě koule dotýkají, vzdálenost jejich středů je $R+r$. Platí tedy $\sqrt{3}R=R+r+\sqrt{3}r$ a odtud plyne $r={\sqrt3-1\over\sqrt3+1}R=(2-\sqrt3)R={2-\sqrt3\over2}a$.