Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Koule a krychle trochu jinak

Je dána krychle $ABCDEFGH$ o hraně délky $a$. Určete střed a délku poloměru $r$ kulové plochy, která protíná stěnu $BCG$ v kružnici $k$ vepsané čtverci $BCGF$ a prochází bodem $A$.
Tato úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Střed $S$ kulové plochy leží na kolmici vedené středem $O_1$ čtverce $BCGF$ a kolmé k jeho rovině, tedy na spojnici bodu $O_1$ a středu $O_2$ čtverce $ADHE$. Poloha středu $S$ bude určena, jestliže vypočteme jeho vzdálenost $x$ od bodu $O_1$.

Podle Pythagorovy věty v pravoúhlých trojúhelnících $KO_1S$ a $ASO_2$ platí $r^2=x^2+\left({a\over2}\right)^2$ a $r^2=(a-x)^2+\left(a{\sqrt2\over2}\right)^2$. Odtud snadno vypočteme, že $x={5\over8}a$ a $r={\sqrt{41}\over8}a$.