Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Je to druhá mocnina?
Vytvoříme číslo $n$ tak, že postupně za sebou napíšeme prvních $400$ přirozených čísel: $n=12345\dots398399400$. Zjistěte, zda $n$ je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla.
Řešení
Poslední dvě číslice čísla $n$ jsou nuly. Kdyby tedy pro nějaké přirozené číslo $p$ bylo $n=p^2$, muselo by být $p=10q$, kde $q$ je nějaké přirozené číslo, tj. $n=100q^2$ a poslední dvě číslice čísla $q^2$ by byly $94$. Poslední číslice čísla $q^2$ může být $4$ jen tehdy, když číslo $q$ má poslední čislici $2$ nebo $8$, tj. $q=10r+2$ nebo $q=10r+8$, kde $r$ je přirozené číslo. Pak ovšem $q^2=(10r+2)^2=100r^2+40r+4$ nebo $q^2=(10r+8)^2=100r^2+160r+64=100r^2+10(16r+6)+4$ a v obou případech je počet desítek sudý. To znamená, že předposlední číslice čísla $q^2$ nemůže být $9$. Číslo $n$ tedy není druhou mocninou žádného přirozeného čísla.