Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Jednoduchá hra

Hrací plán tvoří pravidelný desetiúhelník s poli ve vrcholech očíslovanými od 0 do 9 ve směru pohybu hodinových ručiček. Na začátku hry se na pole 0 položí kámen.

Hru hrají dva hráči. Tah spočívá v tom, že hráč posune kámen podle vlastní volby o 3, 4, nebo 5 polí ve směru pohybu hodinových ručiček. Hráči se v tazích pravidelně střídají. Vítězí hráč, který kámen dostane opět na pole 0. Jakou strategii má začínající hráč zvolit, aby vždy vyhrál ve svém druhém nebo třetím tahu?

Řešení

Je-li kámen na vrcholu 5, 6, nebo 7, hráč, který je na tahu, může svým tahem dosáhnout pole 0 a vyhrát. Leží-li kámen na poli 2, hráč na tahu musí kámen přemístit na některý z polí 5, 6, 7 a umožnit tak protihráči, aby dalším tahem zvítězil. Hráč nesmí zahájit tahem na pole 5, protože by protiháč mohl hned příštím tahem vyhrát. Zahájí-li tahem na pole 3, protihráč se v dalším tahu dostane na některé z polí 6, 7, 8. V prvních dvou případech první hráč příštím tahem vyhrává, ve třetím případě může táhnout o čtyři na pole 2 a ve svém dalším tahu zvítězit.

Zahájí-li tahem na pole 4, protihráč se v dalším tahu dostane na některé z polí 7, 8, 9. V prvním případě první hráč příštím tahem vyhrává, v ostatních případech může táhnout o čtyři nebo o tři na pole 2 a ve svém dalším tahu zvítězit.
Úloha byla zařazena do přípravného kola 28. ročníku Matematické olympiády v kategorii Z pro žáky základních škol.