Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Chuck a Luck
Chuck a Luck je jednoduchá hazardní hra se třemi kostkami pro libovolný počet hráčů, která má původ ve staré Číně. Každý hráč si vsadí na některé z čísel $1, 2,\dots, 6$. Bankéř hodí třemi kostkami. Jestliže ani na jedné kostce nepadne vybrané číslo, hráči jeho sázka propadá. Jestliže vybrané číslo padne, hráč si vezme zpět svou sázku a bankéř mu přidá odměnu podle předem dohodnutého klíče. Uvažujme variantu klíče 1-2-3, tj. padne-li zvolené číslo na jediné kostce, bankéř vyplatí odměnu rovnou vsazené částce, padne-li zvolené číslo na dvou kostkách, vyplatí dvojnásobek, a padne-li zvolené číslo na všech kostkách, vyplatí trojnásobek vsazené částky. Jaké má hráč vyhlídky v takové hře? Je klíč 1-2-10 lepší nebo horší? A co 1-3-5?
Řešení
Pro lepší představu si mysleme, že jedna kostka je červená, druhá zelená a třetí modrá. Na každé kostce je šest čísel, je tedy celkem $6\cdot6\cdot6=216$ možných různých hodů. Případů, kdy padne zvolené číslo jen na červené kostce (a na každé z ostatních kostek padne některé jiné číslo), je $5\cdot5=25$. Kostky jsou tři, takže všech případů, kdy zvolené číslo padne právě na jedné kostce, je $3\cdot25=75$. Pravděpodobnost toho jevu je $75\over216$. Počet různých případů, kdy zvolené číslo padne na červené a zelené kostce, je $5$, a jsou tři možnosti, že zvolené číslo padne dvakrát (červená a zelená, červená a modrá, zelená a modrá). Pravděpodobnost tohoto jevu je tedy $15\over216$. Konečně pravděpodobnost toho, že zvolené číslo padne na všech třech kostkách, je $1\over216$. Pravděpodobnost toho, že hráč ve hře neztratí, je pak $(1+1){75\over216}+(1+2){15\over216}+(1+3){1\over216}\approx0{,}921$. Hráč při tomto klíči musí počítat s průměrnou ztrátou ve výši přibližně $7{,}9\ \%$. Podobnou úvahou ověříte, že klíč 1-2-10 je pro něj lepší (průměrná ztráta přibližně $4{,}6\ \%$), a při klíči 1-3-5 jsou šance hráče a bankéře vyrovnané.