Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Co je větší?

Rozhodnout, které z čísel $a^b$ a $b^a$ je větší, je v některých případech snadné, např. pro $a=2$ a $b=3$. V případě, že se čísla $a$, $b$ příliš neliší, to tak snadné být nemusí. Jak je tomu v případě $a=\pi$, $b=e$, kde $e$ je Eulerova konstanta (základ přirozeného logaritmu).

Řešení

Když zkusíme dosadit přibližné hodnoty $3{,}14$ za $\pi$ a $2{,}72$ za $e$, budou se obě mocniny lišit tak málo, že podle toho nemůžeme s jistotou rozhodnout, které z čísel $\pi^e$, $e^\pi$ je větší. K rozhodnutí budeme potřebovat trochu pokročilejších středoškolských znalostí. Pro každé reálné číslo $x$ platí $e^x>1+x$:

Dokázat to můžeme např. ověřením, že spojitá funkce $f(x)=e^x+1-x$ má derivaci $f'(x)=e^x-1$, která je záporná pro $x<0$ a kladná pro $x>0$, takže funkce $f$ je v intervalu $(-\infty,0)$ klesající a v intervalu $(0,\infty)$ rostoucí a nabývá tedy v bodě $0$ svého ostrého minima $f(0)=0$. Můžeme tedy psát ${\pi\over e}=1+({\pi\over e}-1)< e^{{\pi\over e}-1}$, tj. $e^{\pi\over e}>\pi$. Odtud již po umocnění na $e$ dostáváme $e^\pi>\pi^e$.