Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dvě věže

Dvě válcové věže mají stejnou výšku, ale různý poloměr. Kolem každé věže se od paty po horní ochoz vine výstupní rampa, která má v obou případech stejný stálý sklon. Po které rampě při výstupu na věž ujdeme větší vzdálenost?

Řešení

Představme si věž jako roli papíru, na níž je čárou vyznačena výstupní rampa. Označme $r_1<{r_2}$ poloměry obou věží a jejich výšku $h$. Plášťě obou válců budeme rozvíjet, dokud čára označující rampu nedosáhne výšky $h$.

Protože obě rampy mají stejný stálý sklon, čára označující rampu bude mít na rozvinutém plášti tvar úsečky, která v obou případech svírá se základnou rozvinutého pláště stejný úhel. Oba pravoúhlé trojúhelníky tvořené základnou rozvinutého pláště, výškou věže a čárou označující rampu tedy musí být shodné. Rampy na obou věžích jsou stejně dlouhé. Rozdíl je jen v tom, kolikrát věž obtočí, než dosáhne dané výšky.