Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Je číslo $7251^5+6159^7$ dělitelné $90$?
Dokážete odpovědět bez použití kalkulačky nebo bez úmorného počítání?
Řešení
Číslo $90$ lze rozložit na součin dvou nesoudělných čísel: $90=9\cdot10$. Dané číslo je tedy dělitelné $90$, právě když je současně dělitelné $9$ a $10$. Dělitelné $10$ je, právě když jeho poslední číslce je $0$. O tom, jaká číslice je na posledním místě součinu dvou celých čísel, rozhodují jen poslední číslice tohoto čísla. Kdo by chtěl matematický důkaz, stačí, když si uvědomí, že ta dvě čísla lze vyjádřit ve tvaru $10k+l$, $10m+n$, kde $k,m$ jsou celá čísla a $m,n$ jsou některá z čísel $0,1,\dots,9$. Pak $(10k+l)(10m+n)=10(10km+lm+kn)+ln$ a první člen $10(10km+lm+kn)$ má na konci nulu. Je tedy jasné, že každá mocnina (s celočíselným exponentem) čísla končícího na $1$ má na konci opět $1$. Umocňujeme-li tedy na $1,2,\dots$ číslo končící číslicí $9$, dostaneme čísla, která mají na konci $9,1,9,1,\dots$. Číslo $6159^7$ má tedy na konci $9$. Číslo $7251^5+6159^7$ má tedy na konci nulu a je dělitelné $10$.
Dělitelnost $9$ se obvykle posuzuje pomocí ciferného součtu. (Připomeňme, že celé číslo je dělitelné $9$ právě když je $9$ dělitený jeho ciferný součet. Obdobné pravidlo platí pro dělitelnost $3$.) K přímočaré aplikaci tohoto kritéria bychom však museli vypočítat obě mocniny a výsledky sečíst. To bychom si moc nepomohli. Nezbývá, než se zamyslet. V obou případech máme exponenty větší než $1$. Stačilo by tedy, aby každé z čísel $7251$, $6159$ bylo dělitené $3$. A hle: ciferné součty těchto čísel jsou $15$ a $21$. Dokázali jsme, že číslo $7251^5+6159^7$ je dělitelné $90$.
Úloha byla zařazena do druhého kola 14. ročníku Matematické olympiády v kategorii pro žáky 8. ročníků základních škol.