Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Devíticiferná čísla dělitelná 45
Kolik existuje devíticiferných čísel dělitelných $45$ a sestavených z číslic $1,2,3,\dots,9$ tak, že každá z těchto číslic se v jejich vyjádření vyskytuje přesně jednou?
Řešení
Číslo je dělitelné $45$, je-li dělitelné současně $5$ a $9$. Čísla dělitelná $5$ končí vždy buď číslicí $5$ nebo číslicí $0$. Druhý případ je vyloučen zadáním. Číslo je dělitelné $9,$ právě když je jeho ciferný součet dělitelný $9.$ Ciferný součet hledaných čísel je $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,$ takže všechna jsou dělitelná $9.$ Zadání tedy splňují všechna čísla sestavená z číslic $1,2,3,\dots,9,$ která mají na posledním místě číslici $5.$ Takových čísel je $8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40\thinspace320,$ protože při sestavování takového čísla můžeme na první místo vybrat jednu z osmi číslic (číslice $5$ musí být na posledním místě), pro druhé místo pak máme k dispozici sedm číslic atd. Jinými slovy, hledaná čísla sestavujeme tak, že číslice $1,2,3,4,6,7,8,9$ za sebe stavíme ve všech možných pořadích. V matematice se tomu říká vytvářet permutace z $n$ prvků. Jejich počet (jak jsme pro případ $n=8$ ukázali) je faktoriál $n$ označovaný symbolem $n!$: $n!=n(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.$