Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Dělení trojúhelníkové parcely jinak
Trojúhelníková parcela $ABC$ o obsahu $30\,{\rm ha}$ je rozdělena dvěma přímými hranicemi $CD$ a $AE$ na čtyři části:
Bod $D$ je uprostřed strany $AB$, bod $E$ je uvnitř strany $BC$. Trojúhelníková část $FEC$, kde $F$ je průsečík úseček $CD$ a $AE$, má obsah $8\,{\rm ha}$. Jak velké jsou obsahy ostatních tří částí parcely?
Řešení
Označme obsahy trojúhelníků $ADF$, $DBF$, $BEF$ $AFC$ po řadě $a$, $b$, $c$, $d$ (jednotky ha budeme ve výpočtu vynechávat):
Protože trojúhelníky $ADF$, $DBF$ mají stejně dlouhé strany $AD$, $DB$ a stejnou výšku z vrcholu $F$, mají i stejný obsah: $a=b$. Trojúhelníky $ADC$ a $ABC$ mají stejnou výšku z vrcholu $C$ a $|AD|={1\over2}|AB|$, takže obsah trojúhelníku $ADC$ je polovinou obsahu trojúhelníku $ABC$, a tedy $a+d=15$ a $a+c=30-15-8=7$. Trojúhelníky $BEA$, $ECA$ mají stejnou výšku z vrcholu $A$, jejich obsahy jsou tedy ve stejném poměru jako délky stran $BE$, $EC$: $(2a+c):(d+8)=|BC|:|EC|$. A protože trojúhelníky $BEF$, $ECF$ mají stejnou výšku z vrcholu $F$, jejich obsahy jsou v tomtéž poměru: $c:8=(2a+c):(d+8)$. Po úpravě dostaneme $cd=16a$ a dosazením za $c=7-a$, $d=15-a$ a další úpravou dojedeme ke kvadratické rovnici $a^2-38a+105=0$, která má kořeny $3$ a $35$. Druhý kořen samozřejmě nevyhovuje. Žlutě vybarvená část má obsah $3\,{\rm ha}$, zeleně vybarvená část má obsah $7\,{\rm ha}$ a červeně vybarvená část má obsah $12\,{\rm ha}$.
