Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Rozdělení obdélníkové desky

Na obdélníkové desce o rozměrech $4\,{\rm m}\times3\,{\rm m}$ je vyryta úhlopříčná rýha. Úkolem je rozříznout ji dvěma řezy na čtyři obdélníkové díly podle náčrtu tak, aby žlutě vyznačené díly měly dohromady co největší obsah a přitom nebyly poškozeny rýhou.

Kde je třeba vést řezy?

Řešení

Úlohu lze řešit výpočtem následujícím způsobem ($|AB|=4$, $|AD|=3$, ozačení délkových jednotek vynecháváne).

Obsah obou vyžlucených obdélníků je $P=x\cdot(3-y)+(4-x)\cdot y$. Z podobnosti trojúhelníků plyne $ABD$ a $LMD$ $y:x=3:4$, takže $P=x(3-{3\over4}x)+{3\over4}x(4-x)=6x-{3\over2}x^2$. Upravíme doplněním na čtverec a dostaneme $P=-{3\over2}(x-2)^2+6$. Výraz $(x-2)^2$ je nezáporný, a tedy $P$ je největší, když $(x-2)^2=0$, tj. $x=2$. Řezy je tedy třeba vést středem úhlopříčky.

Existuje však ještě jednodušší, zcela názorné řešení.

Trojúhelniky $QBR$ a $PDM$ jsou shodné, mají tedy stejný obsah a součet obsahů žlutě a zeleně vybarvených obrazců vlevo a vpravo je stejný. Tento obsah bude největší, když body $M$, $S$, $R$ splynou. K tomu dojde právě uprostřed úhlopříčky.