Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Čtyřúhelník v kruhu

Konvexní čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici a jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, má zajímavou vlastnost: Součet druhých mocnin délek jeho dvou protějších stran se rovná druhé mocnině průměru kružnice opsané.
Víte proč?
Tato úloha byla zařazena do druhého kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii B pro studenty středních škol.

Řešení

Označme $a=|AB|$, $b=|BC|$, $c=|CD|$ a $d=|AD|$ délky stran čtyřúhelníku, $x=|AE|$, $y=|EC|$, resp. $v=|BE|$, $u=|ED|$ délky úseček, na které se úhlopříčky vzájemně dělí, $p$, $q$ vzdálenosti úhlopříček od středu kružnice opsané čtyřúhelníku a $r$ poloměr kružnice opsané.

Podle Pythagorovy věty je $a^2+c^2=x^2+v^2+y^2+u^2=b^2+d^2$. Dále platí $|AC|=x+y=2\sqrt{r^2+p^2}$, $y=\sqrt{r^2-p^2}+q$, a tedy také $x=\sqrt{r^2-p^2}-q$. Podobně platí $v=\sqrt{r^2-q^2}+p$, $u=\sqrt{r^2-q^2}-p$. Dosazením do první rovnice a po úpravě dostaneme $a^2+c^2=b^2+d^2=4r^2=(2r)^2$.