Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Co je větší?

V obdélníku $ABCD$ zvolíme bod $X$ uvnitř strany $AD$ a bod $Y$ uvnitř strany $CD$. Úsečky $AY$, $BY$, $XB$, $XC$ rozdělují obdélník na osm částí. Co má větší obsah – červeně vybarvená nebo zeleně vybarvená část?

Řešení

Pokud se někdo pokoušel vypočítat obsahy jednotlivých osmi částí, pak se nepochybně hodně zapotil. Jako obvykle, lepší je trochu se zamyslet, než se pustíme do práce. Ukážeme dvě řešení.

Při označení na obrázku lze velikost obsahu zeleně vybarvené části vyjádřit jako $P_{ABX}+P_{XCD}-(P_1+P_2)={1\over2}ac+{1\over2}a(b-c)-(P_1+P_2)={1\over2}ab-(P_1+P_2)$, kde $P_{ABX}$, $P_{XCD}$ jsou obsahy trojúhelníků $ABX$, $XCD$. Obdobně obsah červeně vybarvené části je $P_{ABY}-(P_1+P_2)={1\over2}ab-(P_1+P_2)$. Z toho ihned plyne, že zeleně a červeně vybarvených částí mají stejné obsahy.
Ještě rychleji lze k řešení dojít množinovou úvahou: Označíme-li $S$ a $P$ obsahy sjednocení a průniku trojúhelníků $ABX$ a $BCY$, pak obsah zeleně vybarvené části je roven $ab-S$. Velikost obsahu sjednocení trojúhelníků je $S=S_{ABX}+S_{BCY}-P={1\over2}ab+{1\over2}ab-P$, tj. pro obsah průniku obou trojúhelníků, což je právě červeně vybarvená část, platí $P=ab-S$.
Úloha byla zařazena do prvního kola 40. ročníku Matematické olympiády v kategorii pro žáky 8. ročníků základních škol.