Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Šest čísel

Čtyři přímky na obrázku se protínají v šesti průsečících.

Je možné k průsečíkům připsat šest navzájem různých přirozených čísel $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ tak, aby součty trojic čísel na přímkách byly stejné?

Řešení

Pokud jste postupovali metodou pokus–omyl, po čase jste mohli dojít k názoru, že tudy cesta nevede. Skutečně: má-li být splněna podmínka rovnosti součtů po přímkách, musí platit $$ \eqalign{a+b+c&=a+d+e\cr f+d+b&=f+e+c\cr} $$ Sečtením obou rovnic a jednoduchou úpravou dostaneme $$ 2b=2e. $$ Čísla $b$ a $e$ by tedy musela být stejná. Zadaným podmínkám žádná šestice čísel nevyhovuje. Všimněte si, že jsme nepoužili požadavek, aby čísla $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ byla přirozená. Úloha nemá řešení ani v oboru reálných nebo komplexních čísel.
Úloha byla zařazena do druhého kola 28. ročníku Matematické olympiády v kategorii Z pro žáky základních škol.