Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Čtyři děti

Novomanželé Jan a Jana plánují založení rodiny. Chtěli by mít čtyři děti. Jana si dělá trochu starosti: "A co když to budou čtyři kluci nebo čtyři holky?" Jan ji chlácholí: "To je sice možné, ale málo pravděpodobné. Pokud předpokládáme, že se dívky a chlapci rodí stejně často, pak nejpravděpodobnější sestava je dva kluci a dvě holky." Má pravdu?

Řešení

Pravděpodobnost je ošidná a snadno svádí k nesprávným závěrům. Podívejme se, jaké jsou možnosti. Označme kluky písmenem K a holky písmenem H. Je tu 16 různých možností:

	H	H	H	H
	H	H	H	K
	H	H	K	H
	H	H	K	K
	H	K	H	H
	H	K	H	K
	H	K	K	H
	H	K	K	K
	K	H	H	H
	K	H	H	K
	K	H	K	H
	K	H	K	K
	K	K	H	H
	K	K	H	K
	K	K	K	H
	K	K	K	K

Z tabulky vidíme, že jen kluci nebo jen holky jsou ve dvou případech. Pravděpodobnost této krajní situace je tedy ${2\over16}={1\over8}$. Případů dva na dva je 6, pravděpodobnost této situace je ${6\over16}={3\over8}$. Zbývají možnosti 3 kluci a 1 holka nebo 1 kluk a 3 holky. Těchto případů je celkem 8, pravděpodobnost toho jevu je tedy ${8\over16}={1\over2}$. (Kontrola: ${1\over8}+{3\over8}+{1\over2}=1$ - součet pravděpodobostí všech jevů je 1.) Jan se tedy mýlí: nejpravděpodobnější kombinace pohlaví u 4 dětí je 3-1, nikoli 2-2.

Variantou této úlohy je zkoumání, s jakou pravděpodobností při házení 4 mincí padnou čtyři stejné strany (4 orli nebo 4 panny), 2 orli a 2 panny, nebo nesymetrická kombinace 3-1.

Podobným způsobem se mýlí i mnozí zkušení hráči bridže. Nejpravděpodobnější rozložení barev není 4-3-3-3 (v průměru jedno z 9 nebo 10 rozdání), nýbrž 4-4-3-2 (pravděpodobnost 1/5). Dokonce rozložení 5-3-3-2 má větší pravděpodobnost (1/6) než 4-3-3-3.