Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Trojúhelník s nejmenším obvodem

Je dán ostroúhlý trojúhelník $ABC$ a uvnitř jeho strany $AB$ bod $K$. Najděte uvnitř strany $BC$ bod $L$ a uvnitř strany $AC$ bod $M$ tak, aby obvod trojúhelníku $KLM$ byl minimální.

Tato úloha byla zařazena do přípravného kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Úlohu vyřešíme vtipnou geometrickou úvahou. Sestrojíme bod $K_1$ souměrně sdružený k bodu $K$ podle strany $BC$ a bod $K_2$ souměrně sdružený k bodu $K$ podle strany $AC$. Platí $|KL|=|K_1L|$, $|KM|=|K_2M|$, takže obvod trojúhelníku $KLM$ je roven délce lomené čáry $K_1LMK_2$.

Ta bude nejmenší, budou-li body $L$, $M$ ležet na přímce $K_1K_2$.

Protože je trojúhelník $ABC$ ostroúhlý, snadnou úvahou o velikostech úhlů $CKK_1$, $K_2KC$ a $K_2CK_1$ ověříme, že průsečíky přímky $K_1K_2$ s přímkami $BC$, $AC$ jsou vnitřními body úseček $BC$, $AC$.