Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Tangens vnitřních úhlů v trojúhelníku

Může být tangens každého ze tří vnitřních úhlů trojúhelníku kladné celé číslo? Jaký tvar má takový trojúhelník?

Řešení

Platí $\text{arctg} 1= 45^\circ$, $\text{arctg} 2\approx 63,435^\circ$, $\text{arctg} 3\approx 71,565^\circ$, $\text{arctg} 4= 75,964^\circ$. Součet velikostí prvních tří úhlů dává (po zaokrouhlení) $180^\circ$, to vypadá nadějně. Označme vnitřní úhly v trojúhelníku podle velikosti tak, že $\alpha\le\beta\le\gamma$. Pokud existuje řešení, musí být tangens nejmenšího úhlu $\alpha$ roven 1 a úhel musí být $45^\circ$. Pokud by totiž tangens nejmenšího úhlu bylo 2, součet úhlů v trojúhelníku by byl alespoň $3\cdot 63,435$, což je víc než $180^\circ$. Další úhel $\beta$ nemůže být $45^\circ$, protože pak by třetí úhel byl $90^\circ$ a jeho tangens není definován. Tangens druhého nejmenšího úhlu však nemůže větší nebo roven 3, protože součet zbývajících dvou úhlů je $135^\circ$. Pro tangens druhého nejmenšího úhlu $\beta$ je tedy možná pouze hodnota 2. Tangens třetího úhlu pak musí být 3. Takový trojúhelník skutečně existuje, což je vidět jednak ze součtového vzorce $\text{tg}(\beta+\gamma) = {\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma \over 1+\text{tg}\beta\cdot\text{tg}\gamma}={2+3 \over 1-2\cdot3}=-1$, tj. $\beta+\gamma = 135^\circ = 180^\circ-\alpha$, jednak z konstrukce trojúhelníku na obrázku.