Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Která autíčka jsou nejrychlejší?
V kroužku modelářů mají závodní dráhu, na které může současně závodit 5 autíček. V depu kroužku je 25 autíček. Každé z nichž jezdí jinou, vždy však stejnou rychlostí. Kolik závodů musejí modeláři uspořádat, aby zjistili, která tři autíčka jsou nejrychlejší?
Řešení
Je jasné, že každé autičko se musí zúčastnit aspoň jednoho závodu. Závodů tedy musí být nejméně pět. Autíčka rozdělíme do pěti skupin po pěti a každou skupinu pošleme do jednoho závodu. To bude tedy 5 závodů. Do šestého závodu postavíme vítěze z prvních pěti závodů. Označme je A, B, C, D, E v pořadí, v jakém dorazila do cíle. Vítěz A tohoto závodu je nejrychlejší ze všech autíček. Další nejrychlejší autíčko však nemusí nutně být B nebo C. Mohlo by se např. stát, že tři nejrychlejší autíčka byla na začátku náhodou nasazena do stejného závodu. Jako druhé a třetí nejrychlejší autíčko však zcela jistě nemohou být:
- autíčka D a E, protože jsou pomalejší než A, B a C,
- všechna autíčka, která v prvních pěti závodech jela spolu s C, D a E, protože jsou pomalejší než A, B a C,
- autíčka, která v některém z prvních pěti závodů jela spolu s B a dojela na třetím až pátém místě, protože A, B a třetí z tohoto závodu jsou rychlejší,
- autíčka, která v některém z prvních pěti závodů jela spolu s A a dojela na čtvrtém a pátém místě, protože A a druhý a třetí z tohoto závodu jsou rychlejší.
Jako druhé a třetí nejrycheljší autíčko tedy v úvahu přicházejí autíčka B, C a autíčka, která v rámci prvních pěti závodů dojela na druhém místě za B a na druhém a třetím místě za A. To je celkem pět autíček, která můžeme postavit do sedmého závodu. První dvě autíčka z tohoto závodu budou ta další dvě nejrychlejší spolu s A.