Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dva trojúhelníky

Je dán obecný trojúhelník $ABC$. Na jeho stranách zvolíme body $K$, $L$, $M$ tak, že $|AK|={1\over7}|AB|$, $|BL|={1\over7}|BC|$, $|CM|={1\over7}|CA|$. V jakém poměru jsou obsahy trojúhelníků $KLM$ a $ABC$?

Řešení

Trojúhelník $ABC$ má obsah $P_1={1\over2}|AB|\cdot|PC|$. Z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků $ASC$ a $ATM$ vyplývá, že ${|TM|\over|PC|}={|AM|\over|AC|}={6\over7}$, tj. $|TM|=|SC|{|AM|\over|AC|}={6\over7}|SC|$.

Obsah trojúhelníku $AKM$ je tedy roven ${1\over2}|AK|\cdot|TM|={1\over2}\cdot{1\over7}|AC|\cdot{6\over7}|SC|={6\over49}\cdot{1\over2}|AC|\cdot|SC|={6\over49}P_1$. Stejnou úvahu zopakujeme pro trojúhelníky $BLK$ a $CML$ a zjistíme, že obsah trojúhelníku $KLM$ je $P_2=P_1-3\cdot{6\over49}P_1={31\over49}P_1$. Poměr obsahů trojúhelníků $KLM$ a $ABC$ je tedy $31\over49$.
Úloha byla zařazena do 2. kola 35. ročníku Matematické olympiády konané ve školním roce 1985/86.