Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Jednobarevný list
Bridž nebo whist se hraje s $52$ kartami složenými ze čtyř sledů $13$ karet v některé ze čtyř barev. Před deseti lety proběhla světem zpráva, že v britské obci Kineton se hráčům whistu stala neuvěřitelná věc: karty byly mezi hráče rozdány tak, že každý z nich měl čistou sérii všech $13$ karet jedné barvy. To je velmi, opravdu velmi nepravděpodobná událost. Zkuste vypočítat, jaká je pravděpodobnost rozdání, kdy jen rozdávající hráč dostane celou sérii $13$ karet v jedné barvě.
Řešení
Pravděpodobnost tohoto jevu je stejná jako pravděpodobnost toho, že po zamíchání karet bude prvních $13$ na vrchu balíčku stejné barvy. Vrchní karta může být kterákoli z $52$, rozhoduje však o barvě celé série. Druhá karta tedy musí být některá z $12$ zbývajících karet téže barvy, pro třetí kartu zbývá $11$ možností atd. Pozitivních případů tedy je $51\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=51\cdot12!$. Všech možných listů, které hráč může dostat, je $52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40={52!\over39!}={52!\over(52-13)!}$ (počet skupin $13$ prvků z daných $52$ prvků, přičemž ve skupinách záleží na pořadí prvků; v kombinatorice se tomu říká variace bez opakování). Pravděpodobnost rozdání, kdy jen rozdávající hráč dostane celou sérii $13$ karet v jedné barvě je dána podílem obou vypočtených hodnot ${51\cdot12!39!\over52!}={12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\over51\cdot50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40}={1\over17\cdot50\cdot49\cdot47\cdot46\cdot43\cdot41}\approx0,000\,000\,000\,006\,3$. Taková situace nastane v průměru v jednom z $158\,753\,389\,900$ rozdání. Tipněte si, jak dlouho by to trvalo, kdyby každé míchání a rozdávání trvalo jen jednu minutu, a pak vypočtěte skutečnou hodnotu. O mnoho řádů menší pravděpodobnost události z Kinetonu lze určit obdobně pokračováním této úvahy.