Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
10 loupežníků
Tlupa deseti loupežníků chce ukrýt uloupený poklad do truhlice. Protože si samozřejmě navzájem nedůvěřují, náčelník rozhodne, že se truhlice musí zajistit visacími zámky tak, aby se dala otevřít, jen když se u toho sejdou aspoň čtyři loupežníci. Kolik různých zámků na truhlici budou muset pověsit a kolik klíčů budou potřebovat?
Řešení
Libovolná trojice loupežníků nesmí být schopná truhlici otevřít. Na truhlici tedy musí být zámek, ke kterému nikdo z těch tří nemá klíč. Každý z ostatních sedmi loupežníků však již k němu klíč mít musí, protože kdyby se k těm třem přidal, museli umět truhlici otevřít. Pro každou možnou trojici loupežníků tedy musí být na truhlici jiný zámek a k němu sedm klíčů. Počet různých $k$-tic, které lze vytvořit z $n$ prvků, vyjadřuje tzv. kombinační číslo: ${n\choose k}= {n!\over k!(n-k)!}={n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\over 1\cdot2\dots(n-k)}$, kde $n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1$ je faktoriál čísla $n$. V našem případě tedy loupežníci mohou vytvořit ${10\choose3}={10\cdot9\cdot8\over1\cdot2\cdot3}=120$ různých trojic. Budou tedy potřebovat 120 různých zámků a ke každému 7 klíčů, tj. celkem 840 klíčů. Každý loupežník tedy bude muset mít 84 klíčů. To už tedy musel být pořádný lup, aby se to vyplatilo! Loupežnictví je nejisté živobytí.