Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Kouzelné číslo 1089
Číslo $1089$ má "kouzelné" vlastnosti. Kouzelník s čísly vybere mezi diváky dobrovolníka, dá mu papír a tužku, otočí se k němu zády a požádá ho, aby napsal nějaké trojciferné číslo, jehož číslice zleva doprava klesají, a od tohoto čísla odečetl číslo tvořené stejnými číslicemi v opačném pořadí. Pak ho požádá, aby k výsledku přičetl číslo tvořené stejnými číslicemi jako výsledek, ale v opačném pořadí. Pak sáhne do klobouku, vytáhne lístek s číslem 1089 a ukáže ho obecenstu. Pokud dobrobvolník počítal správně, překvapeně potvrdí, že právě to je výsledkem jeho výpočtu. Jak je to možné?
Řešení
Označíme-li číslice zvoleného trojciferného čísla $a$, $b$, $c$, zvolené číslo je rovno $100a+10b+c$. Odečteme od něj číslo tvořené stejnými číslicemi v opačném pořadí a dostaneme $100a+10b+c-(100c+10b+a)=100(a-c)+a-c=99(a-c)$. Protože $a>b>c$, je $a-c=d$ některé z čísel od $2,3,\dots,9$. Výsledek odčítání tedy můžeme vyjádřit ve tvaru $99d=100d-d=100(d-1)+90+(10-d)$, tj. první číslice je $d-1$, druhá $9$ a třetí $10-d$. Protože $d>1$, číslo zapsané stejnými číslicemi v opačném pořadí je rovno $100(10-d)+90+(d-1)$ a výsledný součet je $100(d-1)+90+(10-d)+100(10-d)+90+(d-1)=100(d-1+10-d)+180+10-d+d-1=1000+180+9=1089$.
Pozorný čtenář si může položit otázku, kde a jak jsme vlastně využili podmínku $a>b>c$? Samozřejmě jsme potřebovali, aby $a$ bylo větší než $c$. Hodnota čísla $b$ nehrála žádnou roli. Důležité však bylo, že $d>1$. Kdyby totiž $d=1$, pak by výsledný součet byl $99+99=198$. Role číslice $b$ byla pouze v tom zajistit, aby rozdíl mezi číslicemi $a$ a $c$ byl alespoň $2$. Podmínku, aby číslice zvoleného trojciferného čísla zleva doprava klesaly, lze tedy nahradit slabší podmínkou, aby rozdíl mezi první a třetí číslicí byl alespoň $2$.