Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Elektrikářův úkol

Elektrikář má spojit kabelem dvě místa $A$, $B$ v budově. Jsou na stejné zdi, která je však přerušena betonovým překladem (na obrázku vyznačeno šedou barvou).

Spojení má udělat co nejkratším kabelem, prostup překladem však musí vyvrtat kolmo. Jak dlouhý bude kabel a kde má vyvrtat prostup překladem?

Řešení

Kdo se pokusil řešit úlohu analytickým vyjádřením délky kabelu a hledáním minima, ten se asi trochu zapotil. Elektrikář s praxí a představivostí to dokáže jednodušeji. Představme si, že by překlad nebyl mezi body $A$, $B$, ale těsně pod bodem $B$:

Délka kabelu se tím nezmění. Nejkratší spojnice bodů $A$, $B$ je úsečka, která tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku $ABC$. Její délka podle Pyrhagorovy věty je $|AB|=\sqrt{8^2+15^2}=17$. Nejkratší kabel spojující místa $A$, $B$ tedy bude mít délku $17+1=18$. Místo prostupu překladem snadno zjistíme z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků $ABC$, $EAD$: ${|DE|\over15}={3\over8}$, tj. $|DE|={45\over8}$.