Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dělení trojúhelníkové parcely

Otec chce rozdělit svou parcelu tvaru obecného trojúhelníku $ABC$ na tři díly stejného obsahu tak, aby dělící čáry byly rovnoběžné se stranou $AB$.

V jaké vzdálenosti od strany $AB$ má vést dělicí čáry $DE$, $FG$?

Řešení

Označme $K$ patu kolmice z vrcholu $C$ na stranu $AB$ a $L$, $M$ průsečíky výšky $CK$ s příčkami v trojúhelníku rovnoběžnými se stranou $AB$.

Označme $v$ délku výšky $CK$. Z podobnosti trojúhelníků $ABC$, $FGC$ plyne $|FG|:|AB|=|GC|:|BC|$ a z podobnosti trojúhelníků $KBC$, $MGC$ plyne $|CM|:v=|GC|:|BC|$. Protože obsah trojúhelníku $FGC$ má být třetinou obsahu trojúhelníku $ABC$, musí platit $|FG|\cdot|CM|={1\over3}|AB|\cdot v$. Odtud snadno vypočteme $|CM|={\sqrt3\over3}v$. Odbobným způsobem vypočteme $|CL|={\sqrt6\over3}v$, takže $|KL|=(1-{\sqrt6\over3})v$ a $|LM|={\sqrt6-\sqrt3\over3}v$.